2015年考研数学线性代数第一章和第二章复习方法指导

熊孩

2015年考研数学线性代数第一章和第二章复习方法指导
在考试大纲中，数一、数二、数三对线性代数的要求基本相同，只有数一的要求多了解向量空间的相关知识。在历年考题中，数一、数二、数三的线性代数的题目基本相同，所以同学们在复习线性代数时它的要求是相同的，复习难度也是相同的。
线性代数的题型是非常固定的，尤其是解答题。其中一道解答题考查的是向量或者线性方程组，另外一道解答题是矩阵的特征值、特征向量或者二次型。所以同学们在复习线性代数时，一定要花大量时间来复习这些内容。
今天我先来介绍第一章行列式和第二章矩阵的复习方法.
第一章行列式是整个线性代数的基础。复习行列式时，同学们主要掌握行列式的性质和展开定理，会熟练计算行列式。
对于行列式的定义，考试大纲要求了解，但是在考试中没有考查过它的定义，所以同学们了解定义即可。有的同学说，我看不明白，那可以不看。
计算行列式是，主要是掌握行列式的性质和展开定理.
对于行列式的性质，同学们要熟练利用，它的证明同学们不用看。在复习展开定理时，要掌握定理本身和它的推论，同时要区分余子式和代数余子式。关于代数余子式，在伴随矩阵中还会涉及。考题中涉及到代数余子式，考虑展开定理或者伴随矩阵。
行列式的计算分为数值型行列式的计算和抽象型行列式的计算。
数值型行列式主要考查四种类型的行列式：行和（或者列和）相等的行列式，三对角行列式，两对角线一边的行列式，爪型行列式。其中行和（或者列和）相等的行列式考试频率最高。
计算数值型行列式，同学们不但要会，而且要熟练掌握它们相应的方法。
数值型行列式的计算主要是结合线性方程组、矩阵的特征值来考查。例如2012年在解答题第（I）问中直接计算四阶行列式，第（II）问考查线性方程组。2014年以选择题的形式考查了四阶行列式的计算。
抽象型行列式的计算涉及的知识点较多，经常结合矩阵的性质、特征值、相似等等考查，所以需要同学们随着学习的不断深入要不断总结。
抽象型行列式的计算主要是以客观题的形式来考查，在2010年，2012年，2013年都以客观题的形式考查。
计算抽象型行列式，主要用到三种方法。若抽象型行列式是由向量组成，则考虑利用行列式的性质计算或者利用矩阵的性质.
计算抽象型行列式主要用到两种方法：一个是利用矩阵的性质和运算，另一个是利用矩阵的特征值和相似矩阵的性质.
例如
设 满足 ，若 ，则 =______.
解： ；
；
， ，
，得出 .
开始复习时，主要是熟练计算数值型行列式.
行列式的应用—克拉默法则它主要是结合后面的线性方程组考查。
第二章矩阵的知识点是非常多的,性质多，定理多，主要包括矩阵的运算、伴随矩阵、可逆矩阵、初等变换和初等矩阵、矩阵的秩。
矩阵运算中主要是掌握矩阵的乘法，注意和数的乘法的不同。2013年最后一道解答题间接考查了行矩阵和列矩阵的乘法，很多同学没有想到，关键是没有把握住矩阵乘法的本质。
行矩阵和列矩阵相乘是数值，列矩阵和行矩阵相乘是方阵。
矩阵乘法引出的方阵的高次幂同样是考试的重点，同学们要掌握计算方阵高次幂的方法和特殊方阵的高次幂。
在矩阵中有一类非常重要的矩阵--伴随矩阵，伴随矩阵是由代数余子式组成的，需要注意的是代数余子式的位置。伴随矩阵是考试的重点，所有有关伴随矩阵的性质都是由基本公式 推导得到的。伴随矩阵涉及到求矩阵的行列式，求可逆矩阵等等，涉及的知识点是非常多的，所以考试的频率也是比较高。
对于可逆矩阵，不仅要理解逆矩阵的概念，还需要熟练掌握运算法则，掌握矩阵可逆的充分必要条件，会证明矩阵可逆，并能正确求出可逆矩阵。
考题中对于可逆矩阵，数值型的要会利用初等行变换求逆矩阵；抽象型的要会根据定义和充要条件求解或者证明逆矩阵存在.逆矩阵的性质要求熟练掌握.
伴随矩阵、可逆矩阵、初等变换和初等矩阵是每年必考，基本上都是以客观题的形式考查。同学们要熟练掌握它们的性质，并注意区别它们的不同点。
矩阵的初等变换是线性代数中的一个非常重要的运算，要与第一章行列式的性质区分开来。别看矩阵的初等变换就那么简单的三句话，但是做题的时候往往就错在这些最简单的问题上。给你一个矩阵，在很短的时间内化成最简形，不是那么容易的，所以同学们一定要下功夫，练基本功。并且矩阵的初等变换是线性代数的基础，求方阵的逆矩阵、矩阵的秩、向量组的极大线性无关组、线性方程组的求解等等，利用矩阵的初等变换是非常有效的方法。但是要区分清楚何时只能用初等行变换，何时行列变换都可以。
矩阵的初等变换和初等矩阵是考试的重点，经常以客观题的形式考查.
矩阵的秩是复习的重点，也是复习的难点。矩阵的秩可以和线性代数的各章节结合来考查，所以这是一个综合命题的地方，考生要注意复习。首先要熟练掌握矩阵的秩的定义和矩阵秩的定义，然后会将秩与其他知识点结合处理题目。秩是线性代数出证明题的一个出处，在2008年结合矩阵秩的性质和向量以证明题的形式考查了矩阵的秩。
分块矩阵大家了解即可，主要掌握两种特殊情况的分块即可.
线性代数前两章的复习，我们就介绍这些。希望同学们结合我们的建议来进行复习.